Задача 1
Условие (кратко)
Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.
Решение
Дано
- \(AB = AC\)
- \(\triangle ABC\) остроугольный
- \(BB_1 \perp AC\)
- \(CC_1 \perp AB\)
- \(BB_1 \cap CC_1 = M\)
- \(\angle BMC = 140^\circ\)
Найти
- углы \(\triangle ABC\)
- Пусть \(\angle B = \angle C = x\) (углы при основании \(BC\)).
- Треугольник \(BB_1C\) прямоугольный, поэтому \(\angle MBC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - x\). Так же из треугольника \(CC_1B\): \(\angle MCB = 90^\circ - x\).
- В треугольнике \(BMC\): \(140^\circ + 2(90^\circ - x) = 180^\circ\), откуда \(2x = 140^\circ\), \(x = 70^\circ\).
- \(\angle A = 180^\circ - 2 \cdot 70^\circ = 40^\circ\).
Ответ
∠B = ∠C = 70°, ∠A = 40°
Почему так
Острые углы прямоугольных треугольников BB₁C и CC₁B в сумме дают 90°.
Подробнее — в теме «Свойства и признаки прямоугольных треугольников».