Задача 1
Условие (кратко)
Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.
Решение
Дано
- \(AA_1 \perp BC\)
- \(BB_1 \perp AC\)
- \(AA_1 \cap BB_1 = M\)
- \(\angle A = 55^\circ\)
- \(\angle B = 67^\circ\)
Найти
- \(\angle AMB\)
- \(\angle C = 180^\circ - 55^\circ - 67^\circ = 58^\circ\) — треугольник остроугольный, высоты пересекаются внутри него.
- В прямоугольном треугольнике \(ABA_1\): \(\angle BAM = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ\).
- В прямоугольном треугольнике \(ABB_1\): \(\angle ABM = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).
- В треугольнике \(AMB\): \(\angle AMB = 180^\circ - 23^\circ - 35^\circ = 122^\circ\).
Ответ
∠AMB = 122°
Почему так
Углы при вершинах A и B треугольника AMB находятся как дополнения острых углов прямоугольных треугольников до 90°.
Подробнее — в теме «Свойства и признаки прямоугольных треугольников».