Задача 1
Условие (кратко)
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектриса AF и высота AH. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B = 112°.
Решение
Дано
- \(AB = BC\)
- \(\angle B = 112^\circ\)
- \(AF\) — биссектриса
- \(AH \perp BC\)
Найти
- углы \(\triangle AHF\)
- \(\angle BAC = \angle C = (180^\circ - 112^\circ) : 2 = 34^\circ\), \(\angle FAC = 34^\circ : 2 = 17^\circ\).
- Угол \(B\) тупой, поэтому высота \(AH\) падает на продолжение стороны \(CB\) за точку \(B\); \(\angle AHF = 90^\circ\).
- Из треугольника \(AFC\): \(\angle AFC = 180^\circ - 17^\circ - 34^\circ = 129^\circ\), смежный с ним \(\angle AFB = 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ\). Точка \(H\) лежит на луче \(FB\), поэтому \(\angle AFH = 51^\circ\).
- \(\angle HAF = 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ\).
Ответ
∠H = 90°, ∠HAF = 39°, ∠AFH = 51°
Почему так
Треугольник AHF прямоугольный, его острые углы в сумме дают 90°.
Подробнее — в теме «Свойства и признаки прямоугольных треугольников».