Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 35

Упражнение 277 к § 35

Задача 1

Условие (кратко)

Две вершины треугольника являются концами диаметра окружности, а третья вершина лежит на окружности. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ , $$AB$$ — диаметр, точка $$C$$ лежит на окружности. Доказать: $\triangle ABC$ прямоугольный.

Центр $$O$$ — середина диаметра $$AB$$ , поэтому $$CO$$ — медиана треугольника $$ABC$$ .
$$OA = OB = OC$$ — радиусы, значит, $CO = \dfrac{AB}{2}$ .
Медиана равна половине стороны, к которой проведена, — по признаку прямоугольного треугольника $\angle ACB = 90^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано — угол при третьей вершине прямой.

Почему так

Отрезок от центра до третьей вершины — медиана, равная половине диаметра, а это признак прямоугольного треугольника.