Задача 1
Условие (кратко)
К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом 15° проведены медиана CM и высота CH. Найдите AB, если CH = 4.
Решение
Дано
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(\angle A = 15^\circ\)
- \(CM\) — медиана
- \(CH \perp AB\)
- \(CH = 4\)
Найти
- \(AB\)
- Медиана к гипотенузе равна её половине: \(CM = AM = MB\).
- Треугольник \(AMC\) равнобедренный, \(\angle ACM = \angle A = 15^\circ\). Внешний угол \(CMB\) этого треугольника равен \(15^\circ + 15^\circ = 30^\circ\).
- В прямоугольном треугольнике \(CHM\) (\(\angle H = 90^\circ\)) катет \(CH\) лежит против угла в \(30^\circ\): \(CH = \dfrac{CM}{2}\), поэтому \(CM = 8\).
- \(AB = 2 \cdot CM = 16\).
Ответ
AB = 16
Почему так
Медиана к гипотенузе равна её половине и образует с ней угол 30°, против которого лежит высота.
Подробнее — в теме «Свойства и признаки прямоугольных треугольников».