Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 36

Упражнение 266 к § 36

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ , $AA_1 \perp BC$ , $CC_1 \perp AB$ . Доказать: $$AA_1 = CC_1$$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AA_1C$$ и $$CC_1A$$ (прямые углы при $$A_1$$ и $$C_1$$ ).
Гипотенуза $$AC$$ у них общая.
$\angle A_1CA = \angle C_1AC$ — это углы при основании равнобедренного треугольника. Они острые, поэтому и при тупом угле $$B$$ , когда высоты падают на продолжения боковых сторон, острый угол каждого прямоугольного треугольника при основании $$AC$$ равен углу при основании.
По гипотенузе и острому углу $\triangle AA_1C = \triangle CC_1A$ , значит, $$AA_1 = CC_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано — высоты к боковым сторонам равны.

Почему так

Треугольники, отсекаемые высотами, равны по гипотенузе (основанию) и острому углу при основании.