Задача 1
Условие (кратко)
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.
Решение
Дано: \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\), \(BD\) и \(B_1D_1\) — биссектрисы, \(\angle B = \angle B_1\), \(BD = B_1D_1\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
- Треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) прямоугольные (углы \(A\) и \(A_1\) прямые).
- \(\angle ABD = \dfrac{\angle B}{2} = \dfrac{\angle B_1}{2} = \angle A_1B_1D_1\), гипотенузы \(BD = B_1D_1\).
- По гипотенузе и острому углу \(\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1\), поэтому \(AB = A_1B_1\).
- В прямоугольных треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) катет \(AB = A_1B_1\) и прилежащий острый угол \(\angle B = \angle B_1\) — значит, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Утверждение доказано — △ABC = △A₁B₁C₁.
Почему так
Сначала равны треугольники ABD и A₁B₁D₁ по гипотенузе и острому углу, затем исходные — по катету и прилежащему углу.
Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».