Задача 1
Условие (кратко)
На сторонах угла O отмечены точки A и B так, что OA = OB. Через них проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке C. Докажите, что луч OC — биссектриса угла O.
Решение
Дано: \(\angle O\), \(OA = OB\), \(CA \perp OA\), \(CB \perp OB\). Доказать: \(\angle AOC = \angle BOC\).
- Треугольники \(OAC\) и \(OBC\) прямоугольные (прямые углы при \(A\) и \(B\)).
- Гипотенуза \(OC\) общая, катеты \(OA = OB\).
- По гипотенузе и катету \(\triangle OAC = \triangle OBC\), поэтому \(\angle AOC = \angle BOC\).
- Значит, луч \(OC\) делит угол \(O\) пополам — это биссектриса.
Ответ
Утверждение доказано — OC делит угол O пополам.
Почему так
Прямоугольные треугольники OAC и OBC равны по гипотенузе и катету.
Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».