Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника равны стороне и таким же высотам другого.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) остроугольные, \(AB = A_1B_1\), высоты \(AK = A_1K_1\) (к \(BC\) и \(B_1C_1\)), \(BL = B_1L_1\) (к \(AC\) и \(A_1C_1\)). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
- Треугольники остроугольные, поэтому основания высот лежат на сторонах: \(K\) на \(BC\), \(L\) на \(AC\).
- Прямоугольные треугольники \(ABK\) и \(A_1B_1K_1\): гипотенузы \(AB = A_1B_1\), катеты \(AK = A_1K_1\). По гипотенузе и катету они равны, значит, \(\angle ABK = \angle A_1B_1K_1\), то есть \(\angle B = \angle B_1\).
- Так же прямоугольные треугольники \(ABL\) и \(A_1B_1L_1\) равны по гипотенузе и катету, поэтому \(\angle A = \angle A_1\).
- Сторона \(AB\) и прилежащие к ней углы \(A\) и \(B\) равны соответствующим элементам другого треугольника — по второму признаку \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Утверждение доказано — треугольники равны по второму признаку.
Почему так
Из равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету получаем равенство углов, прилежащих к данной стороне.
Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».