Задача 1
Условие (кратко)
Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
Решение
Утверждение: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Дано: \(\angle C = \angle C_1 = 90^\circ\), \(BC = B_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\): \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \angle A_1 = \angle B_1\).
- Угол \(B\) прилежит к катету \(BC\), угол \(B_1\) — к катету \(B_1C_1\).
- По катету и прилежащему острому углу \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Прямоугольные треугольники равны, если катет и противолежащий ему острый угол одного равны катету и противолежащему углу другого.
Почему так
Через сумму острых углов противолежащий угол заменяется прилежащим, и работает признак по катету и прилежащему углу.
Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».