Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и BH = B₁H₁, где BH и B₁H₁ — высоты треугольников ABC и A₁B₁C₁.
Решение
Дано: \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(BH \perp AC\), \(B_1H_1 \perp A_1C_1\), \(BH = B_1H_1\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
- Если \(\angle A = 90^\circ\), то \(H\) совпадает с \(A\) и \(AB = BH = B_1H_1 = A_1B_1\). Иначе рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(A_1B_1H_1\).
- Катеты \(BH = B_1H_1\). Против них лежат острые углы \(\angle BAH\) и \(\angle B_1A_1H_1\): при остром угле \(A\) они равны \(\angle A\) и \(\angle A_1\), при тупом — смежным с ними углам \(180^\circ - \angle A\) и \(180^\circ - \angle A_1\). В обоих случаях они равны.
- По катету и противолежащему углу (задача 273) \(\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1\), значит, \(AB = A_1B_1\).
- Сторона \(AB\) и прилежащие углы \(A\) и \(B\) равны соответствующим элементам другого треугольника — по второму признаку \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Утверждение доказано — треугольники равны по второму признаку.
Почему так
Признак по катету и противолежащему углу даёт AB = A₁B₁, дальше работает второй признак.
Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».