Задача 1
Условие (кратко)
Внутри угла дана точка A. Постройте прямую, проходящую через точку A и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
Решение
Построение (угол с вершиной \(O\)).
- Циркулем и линейкой постройте биссектрису угла \(O\).
- Через точку \(A\) проведите прямую, перпендикулярную к биссектрисе (задача 138). Если \(A\) лежит на биссектрисе — перпендикуляр к ней в точке \(A\).
- Эта прямая пересечёт стороны угла в точках \(P\) и \(Q\) — она искомая.
Почему \(OP = OQ\). Пусть \(K\) — точка пересечения прямой \(PQ\) с биссектрисой. Прямоугольные треугольники \(OKP\) и \(OKQ\) имеют общий катет \(OK\) и равные острые углы \(\angle KOP = \angle KOQ\), прилежащие к нему. По катету и прилежащему углу они равны, поэтому \(OP = OQ\).
Ответ
Искомая прямая проходит через A перпендикулярно биссектрисе угла.
Почему так
Перпендикуляр к биссектрисе отсекает два прямоугольных треугольника, равных по катету и прилежащему углу.
Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».