Задача 1
Условие (кратко)
В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от D до прямой AC равно 6 см. Найдите расстояние от вершины A до прямой BC.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\) равносторонний
- \(AD\) — биссектриса
- \(DK \perp AC\)
- \(DK = 6\) см
Найти
- расстояние от \(A\) до прямой \(BC\)
- В равностороннем (а значит, и равнобедренном с основанием \(BC\)) треугольнике биссектриса \(AD\), проведённая к основанию, является высотой: \(AD \perp BC\). Поэтому расстояние от \(A\) до прямой \(BC\) равно \(AD\).
- Все углы равностороннего треугольника равны \(60^\circ\), поэтому \(\angle DAC = 60^\circ : 2 = 30^\circ\).
- В прямоугольном треугольнике \(ADK\) (\(\angle K = 90^\circ\)) катет \(DK\) лежит против угла \(30^\circ\), значит, он равен половине гипотенузы \(AD\): \(AD = 2 \cdot DK = 2 \cdot 6 = 12\) см.
Ответ
12 см
Почему так
Биссектриса равностороннего треугольника — его высота, а катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».