Что называют расстоянием от точки до прямой?

Длину перпендикуляра, проведённого из точки к прямой

Длину любого отрезка от точки до прямой

Длину самой длинной наклонной

Длину проекции наклонной

Какие утверждения верны?

Перпендикуляр из точки к прямой короче любой наклонной из той же точки

Все точки одной из двух параллельных прямых одинаково удалены от другой прямой

Точки плоскости на расстоянии 3 см от данной прямой образуют две параллельные ей прямые

Расстояние между параллельными прямыми зависит от того, какую точку на прямой выбрать

Расстояние от точки до прямой

Коротко о главном

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой; он короче любой наклонной. Все точки одной из двух параллельных прямых находятся на одном и том же расстоянии от другой — это расстояние между параллельными прямыми.

AH < AM,\quad \text{где } AH \perp a,\ AM \text{ — наклонная}

Подробное объяснение

Вы стоите на тротуаре и хотите перейти дорогу. Короче всего — идти прямо, под прямым углом к краю дороги. Любой путь «наискосок» длиннее. Это и есть идея расстояния от точки до прямой.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$A$$ не на ней. Проведём перпендикуляр $$AH$$ к прямой $$a$$ и отрезок $$AM$$ к любой другой точке $$M$$ прямой.

$$AH$$ — перпендикуляр, точка $$H$$ — его основание.
$$AM$$ — наклонная.
$$HM$$ — проекция наклонной на прямую.

Треугольник $$AHM$$ прямоугольный, $$AM$$ — его гипотенуза, а $$AH$$ — катет. Катет короче гипотенузы, поэтому перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. Это самое маленькое из расстояний от точки до точек прямой. Если точка лежит на прямой, расстояние равно нулю.

Слева из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH и более длинная наклонная AM, отрезок HM — проекция. Справа между параллельными прямыми a и b три равных перпендикуляра длины d. — Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра; между параллельными прямыми оно одинаково в любом месте.

Расстояние между параллельными прямыми

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой.

Почему: возьмём на прямой $$a$$ точки $$A$$ и $$X$$ и опустим перпендикуляры $$AB$$ и $$XY$$ на параллельную прямую $$b$$ . Они перпендикулярны и прямой $$a$$ . Прямоугольные треугольники $$ABY$$ и $$YXA$$ имеют общую гипотенузу $$AY$$ и равные накрест лежащие углы при секущей $$AY$$ . Значит, они равны и $$XY = AB$$ .

Поэтому можно говорить о расстоянии между параллельными прямыми — это расстояние от любой точки одной прямой до другой. Оно же — наименьшее расстояние между точками этих прямых.

Множество точек на данном расстоянии

Верно и обратное: точки, лежащие по одну сторону от прямой и одинаково удалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. Значит, все точки, удалённые от прямой $$a$$ на расстояние $$d$$ по одну сторону от неё, образуют прямую, параллельную $$a$$ . Если не ограничиваться одной стороной — получится две такие прямые.

Множество всех точек с каким-то свойством называют геометрическим местом точек. На этом свойстве работает столярный рейсмус: его игла, скользя вдоль края бруска, чертит линию, параллельную краю.

Как решать задачи

Найдите перпендикуляр: расстояние — это всегда длина перпендикуляра, а не косого отрезка.
Если перпендикуляра на чертеже нет — проведите его и найдите прямоугольный треугольник.
Используйте свойства прямоугольного треугольника: катет короче гипотенузы, катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы, признаки равенства прямоугольных треугольников.
Для параллельных прямых выберите удобную точку на одной из них — ответ от выбора точки не зависит.
Если взаимное расположение не задано (по одну сторону или по разные), рассмотрите оба случая.

Разобранные примеры

База

Расстояние по наклонной и углу

Условие

Из точки $$A$$ к прямой проведена наклонная $$AM = 18$$ см, она образует с прямой угол $30^\circ$ . Найдите расстояние от $$A$$ до прямой.

Дано

$$AM = 18$$ см
$\angle AMH = 30^\circ$
$AH \perp HM$

Найти

$$AH$$

Решение

Проведём перпендикуляр $$AH$$ . В прямоугольном треугольнике $$AHM$$ катет $$AH$$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому он равен половине гипотенузы: $$AH = 18 : 2 = 9$$ см.

Ответ: 9 см

Средний

Точка вне полосы

Условие

Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны. Точка $$M$$ лежит по одну сторону от обеих прямых: от $$a$$ она удалена на 2 см, от $$b$$ — на 9 см. Найдите расстояние между прямыми.

Дано

$a \parallel b$
расстояния от $$M$$ до $$a$$ и $$b$$ равны 2 см и 9 см

Найти

расстояние между $$a$$ и $$b$$

Решение

Проведём через $$M$$ прямую, перпендикулярную $$a$$ ; она перпендикулярна и $$b$$ и пересекает прямые в точках $$K$$ и $$L$$ . $$MK = 2$$ см, $$ML = 9$$ см. Точка $$M$$ лежит по одну сторону от обеих прямых, значит, $$K$$ лежит между $$M$$ и $$L$$ : $$KL = 9 - 2 = 7$$ см.

Ответ: 7 см

Сложный

Отрезок между параллельными прямыми

Условие

Расстояние между параллельными прямыми $$a$$ и $$b$$ равно 8 см. Отрезок $$AB$$ ( $A \in a$ , $B \in b$ ) образует с прямой $$a$$ угол $30^\circ$ . Найдите длину $$AB$$ .

Дано

$a \parallel b$
расстояние 8 см
$\angle(AB, a) = 30^\circ$

Найти

$$AB$$

Решение

Опустим перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$a$$ : $$BH = 8$$ см — расстояние между прямыми. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ угол $$A$$ равен $30^\circ$ , катет $$BH$$ лежит против него, поэтому $AB = 2 \cdot BH = 16$ см.

Ответ: 16 см

Типичные ошибки

Принимают наклонную за расстояние

Почему неверно

Отрезков от точки до прямой бесконечно много, и все они разной длины. Расстоянием называют только самый короткий из них — перпендикуляр.

Как правильно

Всегда ищите или проводите отрезок, перпендикулярный прямой. Если на чертеже дан косой отрезок, он — гипотенуза прямоугольного треугольника, а расстояние — катет.

Измеряют расстояние между параллельными прямыми по косой

Почему неверно

Отрезок, соединяющий две параллельные прямые наискосок, длиннее расстояния между ними — это наклонная к одной из прямых.

Как правильно

Расстояние между параллельными прямыми — длина общего перпендикуляра. Опустите перпендикуляр из любой точки одной прямой на другую.

Забывают второй вариант расположения

Почему неверно

Если сказано только «расстояние от $$a$$ до $$b$$ — 3 см, от $$a$$ до $$c$$ — 5 см», прямые $$b$$ и $$c$$ могут лежать и по одну сторону от $$a$$ , и по разные. Ответ «2 см» — лишь половина решения.

Как правильно

Нарисуйте оба случая: по одну сторону расстояния вычитаются (2 см), по разные — складываются (8 см). В ответе укажите оба.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH = 6 см и две наклонные AM = 10 см и AN = 7 см. Чему равно расстояние от точки A до прямой a?

Подсказка

Расстояние — это длина только одного из этих отрезков. Какого?

Решение

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. Это $$AH = 6$$ см. Наклонные длиннее перпендикуляра ( $$10 > 6$$ , $$7 > 6$$ ), их длины расстоянием не являются.

Ответ

6 см

База Задача 2

Точка M лежит между параллельными прямыми a и b. Расстояние от M до прямой a равно 2,5 см, до прямой b — 4 см. Найдите расстояние между прямыми a и b.

Подсказка

Проведите через M одну прямую, перпендикулярную обеим.

Решение

Прямая через $$M$$ , перпендикулярная $$a$$ , перпендикулярна и $$b$$ . Она пересекает $$a$$ и $$b$$ в точках $$K$$ и $$L$$ , причём $$M$$ лежит между ними: $$MK = 2{,}5$$ см, $$ML = 4$$ см. Расстояние между прямыми $$KL = 2{,}5 + 4 = 6{,}5$$ см.

Ответ

6,5 см

Средний Задача 3

Наклонная, проведённая из точки к прямой, равна 14 см и образует с прямой угол 30°. Найдите расстояние от точки до прямой.

Подсказка

Перпендикуляр, наклонная и проекция образуют прямоугольный треугольник.

Решение

Пусть $$AM = 14$$ см — наклонная, $$AH$$ — перпендикуляр. В прямоугольном треугольнике $$AHM$$ угол $$M$$ равен $30^\circ$ , катет $$AH$$ лежит против него, поэтому $AH = \dfrac{AM}{2} = 7$ см.

Ответ

7 см

Средний Задача 4

Через середину O отрезка AB проведена прямая l, не содержащая отрезка. Расстояние от точки A до прямой l равно 4 см. Найдите расстояние от точки B до прямой l.

Подсказка

Сравните прямоугольные треугольники, которые отсекают перпендикуляры из A и B.

Решение

Проведём $AK \perp l$ и $BP \perp l$ . Если $l \perp AB$ , то $$K = P = O$$ и $$BP = BO = AO = AK$$ . Иначе прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$BPO$$ равны по гипотенузе ( $$AO = BO$$ ) и острому углу ( $\angle AOK = \angle BOP$ как вертикальные). В обоих случаях $$BP = AK = 4$$ см.

Ответ

4 см

Сложный Задача 5

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 10 см. Отрезок AB соединяет точку A прямой a с точкой B прямой b и имеет длину 20 см. Какой угол образует отрезок AB с прямой a?

Подсказка

Опустите перпендикуляр из B на прямую a и сравните его с AB.

Решение

Проведём $BH \perp a$ ; $$BH = 10$$ см — расстояние между прямыми. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ катет $$BH$$ равен половине гипотенузы $$AB = 20$$ см. Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $30^\circ$ , значит, $\angle BAH = 30^\circ$ .

Ответ

30°

Сложный Задача 6

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB = BC = 12 см, а угол B равен 150°. Найдите расстояние от вершины A до прямой BC.

Подсказка

Перпендикуляр из A упадёт на продолжение стороны CB за точку B.

Решение

Угол $$B$$ тупой, поэтому перпендикуляр $$AH$$ к прямой $$BC$$ падает на продолжение стороны $$CB$$ за точку $$B$$ . Угол $$ABH$$ смежный с углом $$ABC$$ : $\angle ABH = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$AHB$$ катет $$AH$$ лежит против угла $30^\circ$ : $AH = \dfrac{AB}{2} = 6$ см.

Ответ

6 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол линейку — это «прямая». Поставьте рядом монету и протяните от неё нитку к линейке в разных направлениях. Самый короткий кусок нитки — тот, что идёт под прямым углом (проверьте углом листа бумаги). Его длина и есть расстояние. Затем положите вторую линейку параллельно первой и покажите, что расстояние между ними одинаково в любом месте — как у рельсов.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему перпендикуляр короче любой наклонной? 2) Почему расстояние между параллельными прямыми не зависит от выбора точки? 3) Где лежат все точки, удалённые от прямой на 2 см?

На что обратить внимание. Главное — чтобы ребёнок всегда искал перпендикуляр и видел прямоугольный треугольник. В задачах с несколькими параллельными прямыми проверьте, рассмотрены ли оба случая расположения.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 37	279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293