Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 37

Упражнение 282 к § 37

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ , $$M$$ — середина основания $$AC$$ , $MK \perp AB$ , $MP \perp BC$ . Доказать: $$MK = MP$$ .

Расстояния от $$M$$ до боковых сторон — это перпендикуляры $$MK$$ и $$MP$$ .
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKM$$ и $$CPM$$ (прямые углы при $$K$$ и $$P$$ ). Их гипотенузы равны: $$AM = CM$$ , так как $$M$$ — середина $$AC$$ .
Острые углы $\angle A = \angle C$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
Значит, $\triangle AKM = \triangle CPM$ по гипотенузе и острому углу, откуда $$MK = MP$$ .

Ответ

Доказано: перпендикуляры из середины основания к боковым сторонам равны

Почему так

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, так как углы при основании равны.