Задача 1
Условие (кратко)
На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что CM — высота треугольника ABC.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AC = BC\), \(M \in AB\), \(MK \perp AC\), \(MP \perp BC\), \(MK = MP\). Доказать: \(CM \perp AB\).
- Сначала докажем, что \(CM\) — медиана. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AKM\) и \(BPM\) (прямые углы при \(K\) и \(P\)).
- \(\angle A = \angle B\) как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда \(\angle AMK = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \angle B = \angle BMP\).
- Катеты \(MK = MP\), прилежащие к ним острые углы \(\angle AMK = \angle BMP\), значит, \(\triangle AKM = \triangle BPM\) по катету и прилежащему острому углу. Отсюда \(AM = BM\), то есть \(CM\) — медиана.
- Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому \(CM \perp AB\).
Ответ
Доказано: M — середина AB, поэтому медиана CM является высотой
Почему так
Равные прямоугольные треугольники дают AM = BM, а медиана к основанию равнобедренного треугольника — высота.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».