Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 37

Упражнение 284 к § 37

Задача 1

Условие (кратко)

Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Решение

Дано: $$O$$ — середина отрезка $$AB$$ , прямая $$l$$ проходит через $$O$$ , $AK \perp l$ , $BP \perp l$ . Доказать: $$AK = BP$$ .

Если прямая $$l$$ содержит отрезок $$AB$$ , оба расстояния равны нулю. Если $l \perp AB$ , то $$K$$ и $$P$$ совпадают с $$O$$ и $$AK = AO = BO = BP$$ .
В остальных случаях рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$BPO$$ (прямые углы при $$K$$ и $$P$$ ).
Гипотенузы равны: $$AO = BO$$ , так как $$O$$ — середина $$AB$$ .
$\angle AOK = \angle BOP$ как вертикальные (точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$l$$ ).
Значит, $\triangle AKO = \triangle BPO$ по гипотенузе и острому углу, и $$AK = BP$$ .

Ответ

Доказано: расстояния от концов отрезка до прямой равны

Почему так

Перпендикуляры из концов отрезка отсекают равные прямоугольные треугольники с вертикальными углами при середине.