Задача 1
Условие (кратко)
(Повышенной трудности.) Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
Решение
Дано: прямая \(a\), точки по одну сторону от \(a\) на одном и том же расстоянии \(d\) от неё. Доказать: все они лежат на одной прямой, параллельной \(a\).
- Возьмём одну из таких точек — \(M\) — и проведём через неё прямую \(b \parallel a\). По теореме п. 37 все точки прямой \(b\) удалены от \(a\) на одно и то же расстояние, равное расстоянию от \(M\), то есть на \(d\).
- Пусть \(N\) — любая другая точка с тем же свойством. Проведём \(NK \perp a\), \(NK = d\).
- Прямая \(NK\) перпендикулярна \(a\), а значит, и параллельной ей прямой \(b\); она пересекает \(b\) в точке \(L\), и \(KL = d\) — расстояние между \(a\) и \(b\).
- Точки \(N\) и \(L\) лежат по ту же сторону от \(a\), что и \(M\), то есть на одном луче с началом \(K\), и \(KN = KL = d\). На луче от его начала можно отложить только один отрезок данной длины, поэтому \(N\) совпадает с \(L\) и лежит на прямой \(b\).
Ответ
Доказано: все такие точки лежат на прямой, параллельной данной и проходящей через одну из них
Почему так
Через одну точку проводят параллельную прямую и доказывают, что любая другая подходящая точка на ней лежит.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».