Задача 1
Условие (кратко)
Даны неразвёрнутый угол ABC и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек внутри угла, удалённых от прямой BC на расстояние PQ?
Решение
- Точки внутри угла лежат по ту же сторону от прямой \(BC\), что и точка \(A\). Множество всех точек этой полуплоскости на расстоянии \(PQ\) от прямой \(BC\) — прямая \(p \parallel BC\), удалённая от \(BC\) на \(PQ\) (замечание 2 п. 37; задача 287).
- Прямая \(BA\) пересекает прямую \(BC\), поэтому пересекает и параллельную ей прямую \(p\). Точка пересечения \(M\) лежит на стороне \(BA\) угла (по ту же сторону от \(BC\), что и \(A\)).
- Точка \(M\) делит прямую \(p\) на два луча. Внутри угла (по ту же сторону от \(BA\), что и \(C\)) лежит тот луч, который идёт от \(M\) в сторону луча \(BC\); сама точка \(M\) лежит на стороне угла, а не внутри.
- Итак, искомое множество — луч с началом \(M\) на стороне \(BA\), параллельный стороне \(BC\) (без самой точки \(M\)).
Ответ
Луч с началом на стороне BA, параллельный стороне BC и удалённый от неё на PQ
Почему так
Точки одной полуплоскости на данном расстоянии от прямой образуют параллельную ей прямую; внутри угла остаётся её луч.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».