Задача 1
Условие (кратко)
Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?
Решение
Пусть \(a \parallel b\) и расстояние между ними равно \(h\).
- Точка вне полосы между прямыми лежит по одну сторону от обеих; если провести через неё перпендикуляр к \(a\) (он перпендикулярен и \(b\)), видно, что расстояние до дальней прямой на \(h\) больше, чем до ближней. Такие точки не подходят.
- Если точка \(X\) лежит между прямыми, перпендикуляр через неё пересекает \(a\) и \(b\) в точках \(A\) и \(B\), и \(XA + XB = AB = h\). Условие \(XA = XB\) означает \(XA = XB = \dfrac{h}{2}\).
- Точки по ту же сторону от \(a\), что и \(b\), на расстоянии \(\dfrac{h}{2}\) от \(a\) образуют прямую \(c \parallel a\) (замечание 2 п. 37). Каждая точка \(c\) лежит между \(a\) и \(b\) и удалена от \(b\) на \(h - \dfrac{h}{2} = \dfrac{h}{2}\).
- Значит, искомое множество — прямая \(c\).
Ответ
Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них (посередине между ними)
Почему так
Равноудалённая точка лежит в полосе на половине расстояния между прямыми, а такие точки образуют параллельную прямую.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».