Задача 1
Условие (кратко)
Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где X ∈ a, Y ∈ b, лежат на прямой, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Решение
Дано: \(a \parallel b\), \(X \in a\), \(Y \in b\), \(M\) — середина \(XY\). Доказать: \(M\) лежит на прямой \(c\), параллельной \(a\) и \(b\) и равноудалённой от них.
- По задаче 289 все точки, равноудалённые от \(a\) и \(b\), образуют прямую \(c\). Значит, достаточно доказать, что \(M\) равноудалена от \(a\) и \(b\).
- Проведём через \(M\) прямую, перпендикулярную \(a\); она перпендикулярна и \(b\) и пересекает их в точках \(K\) и \(L\). Точка \(M\) лежит между \(a\) и \(b\) (на отрезке \(XY\)), поэтому \(M\) лежит между \(K\) и \(L\).
- Если \(XY \perp a\), то \(K = X\), \(L = Y\) и \(MK = MX = MY = ML\).
- Иначе прямоугольные треугольники \(MKX\) и \(MLY\) равны по гипотенузе и острому углу: \(MX = MY\), \(\angle KMX = \angle LMY\) как вертикальные. Отсюда \(MK = ML\).
- Итак, \(M\) равноудалена от \(a\) и \(b\) и лежит на прямой \(c\).
Ответ
Доказано: середина любого такого отрезка равноудалена от a и b и потому лежит на прямой посередине между ними
Почему так
Середина отрезка равноудалена от параллельных прямых, а все такие точки образуют прямую из задачи 289.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».