Задача 1
Даны прямая a и отрезок AB. Постройте прямую p, параллельную прямой a, так, чтобы расстояние между прямыми a и p было равно AB.
Решение
- Отмечаем на прямой \(a\) любую точку \(C\) и строим через неё прямую \(b \perp a\) (построение перпендикуляра через точку прямой).
- На одном из лучей прямой \(b\) с началом \(C\) циркулем откладываем отрезок \(CD = AB\).
- Через точку \(D\) строим прямую \(p \perp b\).
Почему прямая \(p\) искомая: прямые \(a\) и \(p\) перпендикулярны одной прямой \(b\), поэтому параллельны. Отрезок \(CD\) перпендикулярен \(a\), значит, расстояние от точки \(D\) прямой \(p\) до прямой \(a\) равно \(CD = AB\), а это и есть расстояние между параллельными прямыми.
Исследование: построение выполнимо для любых \(a\) и \(AB\). Отложив \(CD_1 = AB\) на другом луче прямой \(b\), получим вторую прямую \(p_1\). Задача имеет два решения — по одной прямой с каждой стороны от \(a\).
Ответ
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, а перпендикуляр CD задаёт расстояние между ними.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».