Задача 1
Условие (кратко)
Даны пересекающиеся прямые a и b и отрезок PQ. На прямой a постройте точку, удалённую от прямой b на расстояние PQ.
Решение
- Строим две прямые \(p\) и \(p_1\), параллельные прямой \(b\) и удалённые от неё на \(PQ\) по разные стороны (задача 292).
- Прямая \(a\) пересекает \(b\), поэтому она не параллельна \(p\) и \(p_1\) (иначе через точку пересечения \(a\) и \(b\) проходили бы две прямые, параллельные \(p\)). Значит, \(a\) пересекает \(p\) в точке \(M\) и \(p_1\) в точке \(M_1\).
- Точки \(M\) и \(M_1\) искомые: все точки прямых \(p\) и \(p_1\) удалены от \(b\) на \(PQ\).
Исследование: других точек нет, так как все точки на расстоянии \(PQ\) от \(b\) лежат на \(p\) или \(p_1\) (задача 291). Задача всегда имеет два решения — точки по разные стороны от прямой \(b\).
Ответ
Две точки — пересечения прямой a с прямыми, параллельными b и удалёнными от неё на PQ
Почему так
Точки на данном расстоянии от прямой b лежат на двух параллельных ей прямых, их и пересекают прямой a.
Подробнее — в теме «Расстояние от точки до прямой».