Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., § 38, упражнение 294

Условие (кратко)

Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Решение

Даны отрезки $$c$$ и $$l$$ и угол $\alpha$ . Нужно построить $\triangle ABC$ , у которого $$AB = c$$ , $\angle A = \alpha$ , биссектриса $$AD = l$$ .

Строим угол $$XAY$$ , равный $\alpha$ .
На луче $$AX$$ откладываем $$AB = c$$ .
Строим биссектрису угла $$XAY$$ и откладываем на ней отрезок $$AD = l$$ .
Проводим луч $$BD$$ . Если он пересекает луч $$AY$$ , отмечаем точку пересечения $$C$$ и соединяем точки. Треугольник $$ABC$$ искомый.

Почему: $$AB = c$$ , $\angle A = \alpha$ по построению; $$AD$$ делит угол $$A$$ пополам, и точка $$D$$ лежит на отрезке $$BC$$ , поэтому $$AD$$ — биссектриса треугольника и $$AD = l$$ .

Исследование: точки $$A$$ , $$B$$ , $$D$$ определены однозначно, поэтому решение не больше одного. Луч $$BD$$ пересекает луч $$AY$$ , только если $\angle ABD + \alpha < 180^\circ$ . Если биссектриса слишком длинная по сравнению со стороной (например, $\alpha = 60^\circ$ , $$c = 2$$ см, $$l = 10$$ см), угол $$ABD$$ получается не меньше $180^\circ - \alpha$ , луч $$BD$$ уходит мимо луча $$AY$$ , и задача решения не имеет.

Ответ

Треугольник ABC построен; решение единственное, если луч BD пересекает вторую сторону угла, иначе решения нет

Почему так

Сначала строят треугольник ABD по двум сторонам и углу между ними, затем продлевают BD до второй стороны угла.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Упражнение 294 к § 38

Задача 1

Похожие задачи для тренировки