Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., § 38, упражнение 295

Условие (кратко)

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Решение

Даны отрезки $$c$$ и $$m$$ и угол $\varphi$ . Нужно построить $\triangle ABC$ , у которого $$AB = c$$ , медиана $$AM$$ к стороне $$BC$$ равна $$m$$ и $\angle BAM = \varphi$ .

Строим угол $$XAY$$ , равный $\varphi$ .
На луче $$AX$$ откладываем $$AB = c$$ , на луче $$AY$$ — $$AM = m$$ . Получили треугольник $$ABM$$ по двум сторонам и углу между ними.
Проводим луч $$BM$$ и откладываем на его продолжении за точку $$M$$ отрезок $$MC = BM$$ .
Соединяем $$A$$ и $$C$$ . Треугольник $$ABC$$ искомый.

Почему: $$AB = c$$ по построению; $$M$$ — середина $$BC$$ , так как $$BM = MC$$ , значит, $$AM$$ — медиана, $$AM = m$$ , $\angle BAM = \varphi$ .

Исследование: треугольник $$ABM$$ строится всегда, точка $$C$$ определяется однозначно и не лежит на прямой $$AB$$ (иначе и $$M$$ лежала бы на ней). Задача всегда имеет единственное решение.

Ответ

Треугольник ABC построен; задача всегда имеет одно решение

Почему так

Сначала по двум сторонам и углу строят треугольник ABM, затем удваивают отрезок BM.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Упражнение 295 к § 38

Задача 1

Похожие задачи для тренировки