Задача 1
Условие (кратко)
Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB = PQ, ∠ABC = ∠hk, ∠BAC = ½∠hk.
Решение
- Строим биссектрису угла \(hk\) — получаем угол, равный \(\dfrac{1}{2}\angle hk\).
- Проводим прямую и откладываем на ней отрезок \(AB = PQ\).
- От луча \(AB\) откладываем угол, равный \(\dfrac{1}{2}\angle hk\), а от луча \(BA\) в ту же полуплоскость — угол, равный \(\angle hk\).
- Стороны этих углов пересекаются в точке \(C\). Треугольник \(ABC\) искомый: \(AB = PQ\), \(\angle B = \angle hk\), \(\angle A = \dfrac{1}{2}\angle hk\).
Исследование: лучи пересекаются, только если сумма углов меньше \(180^\circ\): \(\angle hk + \dfrac{1}{2}\angle hk < 180^\circ\), то есть \(\angle hk < 120^\circ\). Тогда решение единственное (треугольник по стороне и двум прилежащим углам), иначе решения нет.
Ответ
Треугольник построен по стороне и двум прилежащим углам; решение есть и единственно при ∠hk < 120°
Почему так
Половину угла дают биссектрисой, затем строят треугольник по стороне и двум прилежащим углам.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».