Задача 1
Условие (кратко)
Даны углы hk и h₁k₁ и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠B = ½∠h₁k₁.
Решение
- Строим биссектрису угла \(h_1k_1\) — получаем угол, равный \(\dfrac{1}{2}\angle h_1k_1\).
- Откладываем на прямой отрезок \(AB = PQ\).
- От луча \(AB\) откладываем угол, равный \(\angle hk\), а от луча \(BA\) в ту же полуплоскость — угол, равный \(\dfrac{1}{2}\angle h_1k_1\).
- Стороны углов пересекаются в точке \(C\). В треугольнике \(ABC\): \(AB = PQ\), \(\angle A = \angle hk\), \(\angle B = \dfrac{1}{2}\angle h_1k_1\).
Исследование: решение существует и единственно, если \(\angle hk + \dfrac{1}{2}\angle h_1k_1 < 180^\circ\); иначе стороны углов не пересекаются и решения нет.
Ответ
Треугольник ABC построен; решение есть и единственно, если ∠hk + ½∠h₁k₁ < 180°
Почему так
Половину угла строят биссектрисой, а треугольник — по стороне и двум прилежащим углам.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».