Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 38

Упражнение 298 к § 38

§ 38. Построение треугольника по трём элементам · тема: Построение треугольника по трём элементам

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.

Решение

Даны отрезки $$a$$ и $$b$$ .

Проводим прямую, отмечаем на ней точку $$C$$ и строим через $$C$$ перпендикулярную прямую — получаем прямой угол $$C$$ .
На одной стороне прямого угла откладываем $$CA = b$$ , на другой — $$CB = a$$ .
Соединяем $$A$$ и $$B$$ . Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, его катеты равны $$a$$ и $$b$$ .

Это построение треугольника по двум сторонам и углу между ними (угол $90^\circ$ ). Задача всегда имеет единственное решение.

Ответ

Прямоугольный треугольник построен; решение всегда единственное

Почему так

Это частный случай построения по двум сторонам и углу между ними — угол прямой.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Задача 2

Условие (кратко)

Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.

Решение

Даны отрезок $$b$$ и острый угол $\alpha$ .

Откладываем на прямой отрезок $$CA = b$$ .
В точке $$C$$ строим перпендикуляр к $$CA$$ — луч $$CX$$ .
От луча $$AC$$ в ту же полуплоскость откладываем угол, равный $\alpha$ ; его сторона пересекает луч $$CX$$ в точке $$B$$ .
Треугольник $$ABC$$ искомый: $\angle C = 90^\circ$ , $$CA = b$$ , $\angle A = \alpha$ .

Исследование: так как $\alpha + 90^\circ < 180^\circ$ (угол острый), лучи всегда пересекаются. Решение единственное (треугольник по стороне и двум прилежащим углам).