Упражнение 299 к § 38

Даны отрезок \(b\) и угол \(\alpha\) (неразвёрнутый).

1. Строим угол \(XAY\), равный \(\alpha\).
2. На лучах \(AX\) и \(AY\) откладываем \(AB = AC = b\).
3. Соединяем \(B\) и \(C\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный с боковыми сторонами \(b\) и углом \(\alpha\) при вершине.

Это построение по двум сторонам и углу между ними; решение всегда существует и единственно.

Даны отрезок \(a\) и угол \(\alpha\).

1. Откладываем на прямой основание \(AC = a\).
2. От лучей \(AC\) и \(CA\) в одну полуплоскость откладываем углы, равные \(\alpha\).
3. Их стороны пересекаются в точке \(B\). Треугольник \(ABC\) искомый: \(\angle A = \angle C = \alpha\), поэтому \(AB = BC\).

Исследование: стороны углов пересекаются, только если \(2\alpha < 180^\circ\), то есть угол \(\alpha\) острый. Тогда решение единственное; если \(\alpha\) прямой или тупой — решения нет.

Даны отрезок \(b\) и угол \(\alpha\).

1. Строим угол \(XAY\), равный \(\alpha\), и откладываем на луче \(AY\) отрезок \(AB = b\).
2. Проводим окружность с центром \(B\) радиуса \(b\). Она проходит через \(A\) и, если \(\alpha\) острый, пересекает луч \(AX\) ещё в одной точке \(C\).
3. Соединяем \(B\) и \(C\). Треугольник \(ABC\) искомый: \(BA = BC = b\) как радиусы, поэтому \(\angle C = \angle A = \alpha\).

Исследование: если угол \(\alpha\) острый, решение единственное. Если \(\alpha\) прямой или тупой, второй точки на луче \(AX\) нет (углы при основании равнобедренного треугольника острые) — решения нет.

Даны отрезки \(a\) (основание) и \(b\) (боковая сторона).

1. Откладываем на прямой отрезок \(AC = a\).
2. Проводим окружности радиуса \(b\) с центрами \(A\) и \(C\).
3. Отмечаем одну из точек их пересечения — \(B\). Треугольник \(ABC\) искомый: \(AB = CB = b\) как радиусы.

Исследование: это построение по трём сторонам \(b\), \(b\), \(a\). Окружности пересекаются, только если \(2b > a\). Тогда решение единственное, иначе (при \(2b \le a\)) решения нет.

Даны отрезки \(a\) (основание) и \(m\) (медиана).

1. Откладываем на прямой \(AC = a\) и строим середину \(M\) отрезка \(AC\) — точку пересечения \(AC\) с серединным перпендикуляром.
2. На серединном перпендикуляре откладываем \(MB = m\).
3. Соединяем \(B\) с \(A\) и \(C\). Треугольник \(ABC\) искомый.

Почему: прямоугольные треугольники \(AMB\) и \(CMB\) равны по двум катетам, поэтому \(AB = CB\). \(BM\) соединяет вершину с серединой основания — это медиана, \(BM = m\).

Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и высотой, поэтому вершина лежит на серединном перпендикуляре. Решение всегда единственное.