Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 38

Упражнение 300 к § 38

§ 38. Построение треугольника по трём элементам · тема: Построение треугольника по трём элементам

Задача 1

Условие (кратко)

Даны отрезки P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃. Постройте треугольник ABC, где AB = P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 2P₃Q₃. Всегда ли задача имеет решение?

Решение

Строим отрезок, равный $$2P_3Q_3$$ : на луче с началом $$O$$ откладываем $$OK = P_3Q_3$$ , затем от $$K$$ на том же луче — $$KL = P_3Q_3$$ . Тогда $$OL = 2P_3Q_3$$ .
Откладываем на прямой $$AB = P_1Q_1$$ .
Проводим окружность с центром $$A$$ радиуса $$OL$$ и окружность с центром $$B$$ радиуса $$P_2Q_2$$ ; одну из точек их пересечения обозначаем $$C$$ .
Треугольник $$ABC$$ искомый: $$AB = P_1Q_1$$ , $$BC = P_2Q_2$$ , $$CA = 2P_3Q_3$$ .

Исследование: решение есть, только если каждый из трёх отрезков $$P_1Q_1$$ , $$P_2Q_2$$ , $$2P_3Q_3$$ меньше суммы двух других. Например, при $$P_1Q_1 = P_2Q_2 = 2$$ см и $$P_3Q_3 = 3$$ см получим стороны 2, 2 и 6 см — треугольника нет. Когда решение есть, оно единственное.

Ответ

Не всегда: решение есть (и единственно), только если для отрезков P₁Q₁, P₂Q₂ и 2P₃Q₃ выполняется неравенство треугольника

Почему так

Это построение по трём сторонам, а оно возможно лишь при выполнении неравенства треугольника.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Задача 2

Условие (кратко)

Даны отрезки P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃. Постройте треугольник ABC, где AB = 2P₁Q₁, BC = P₂Q₂, CA = 3/2·P₃Q₃. Всегда ли задача имеет решение?

Решение

Строим отрезок $$2P_1Q_1$$ , дважды отложив $$P_1Q_1$$ на одном луче.
Строим отрезок $\dfrac{3}{2}P_3Q_3$ : строим середину $$N$$ отрезка $$P_3Q_3$$ , откладываем на луче $$OK = P_3Q_3$$ , а от $$K$$ дальше — $KL = P_3N = \dfrac{1}{2}P_3Q_3$ . Тогда $OL = \dfrac{3}{2}P_3Q_3$ .
Откладываем $$AB = 2P_1Q_1$$ , проводим окружность с центром $$A$$ радиуса $$OL$$ и окружность с центром $$B$$ радиуса $$P_2Q_2$$ ; одна из точек их пересечения — $$C$$ .
Треугольник $$ABC$$ искомый.

Исследование: решение есть, только если отрезки $$2P_1Q_1$$ , $$P_2Q_2$$ , $\dfrac{3}{2}P_3Q_3$ удовлетворяют неравенству треугольника (каждый меньше суммы двух других). Например, при равных данных отрезках по 2 см стороны равны 4, 2 и 3 см — решение есть; при $$P_1Q_1 = 5$$ см, $$P_2Q_2 = P_3Q_3 = 2$$ см стороны 10, 2 и 3 см — нет. Если решение есть, оно единственное.

Ответ

Не всегда: решение есть (и единственно), только если для отрезков 2P₁Q₁, P₂Q₂ и 3/2·P₃Q₃ выполняется неравенство треугольника

Почему так

Удвоение и полтора отрезка строят циркулем и серединой отрезка, дальше — построение по трём сторонам.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки