Задача 1
Условие (кратко)
Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.
Решение
Даны отрезки \(c\) (сторона), \(h\) (высота) и угол \(\alpha\). Нужно: \(AB = c\), \(\angle A = \alpha\), высота \(CH = h\).
- Строим угол \(XAY\), равный \(\alpha\), и на луче \(AX\) откладываем \(AB = c\).
- Вершина \(C\) удалена от прямой \(AB\) на \(h\) и лежит по ту же сторону, что и луч \(AY\). Все такие точки образуют прямую \(p \parallel AB\) на расстоянии \(h\) от неё. Строим \(p\), как в задаче 292.
- Точка пересечения прямой \(p\) и луча \(AY\) — вершина \(C\). Соединяем \(C\) и \(B\).
Почему: \(AB = c\), \(\angle A = \alpha\) по построению, а расстояние от \(C\) до прямой \(AB\), то есть высота \(CH\), равно \(h\).
Исследование: луч \(AY\) не параллелен прямой \(AB\), поэтому всегда пересекает прямую \(p\), и ровно в одной точке. Задача всегда имеет единственное решение.
Ответ
Треугольник ABC построен; задача всегда имеет одно решение
Почему так
Вершина C лежит на прямой, параллельной AB и удалённой от неё на длину высоты, и на второй стороне угла.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».