Задача 1
Условие (кратко)
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.
Решение
Даны отрезки \(a\), \(b\) и \(h\). Нужно построить \(\triangle ABC\), у которого \(BC = a\), \(CA = b\) и высота \(AH\) к стороне \(BC\) равна \(h\).
- Откладываем на прямой отрезок \(BC = a\).
- Строим прямую \(p \parallel BC\) на расстоянии \(h\) от неё (задача 292): на ней лежат вершины \(A\) на расстоянии \(h\) от \(BC\) по одну сторону.
- Проводим окружность с центром \(C\) радиуса \(b\). Точку её пересечения с прямой \(p\) обозначаем \(A\).
- Соединяем \(A\) с \(B\) и \(C\). Треугольник \(ABC\) искомый: \(BC = a\), \(CA = b\), расстояние от \(A\) до \(BC\) равно \(h\).
Исследование. Расстояние от центра \(C\) до прямой \(p\) равно \(h\).
- Если \(b < h\), окружность не достигает прямой \(p\) — решения нет (наклонная не может быть короче перпендикуляра).
- Если \(b = h\), окружность касается \(p\) в одной точке — одно решение, прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\).
- Если \(b > h\), точек пересечения две, \(A_1\) и \(A_2\). Получаются два неравных треугольника: в одном угол \(C\) острый, в другом тупой. Задача имеет два решения.
(Прямая по другую сторону от \(BC\) даёт треугольники, равные уже найденным.)
Ответ
Если b > h — два решения, если b = h — одно (прямоугольный треугольник), если b < h — решений нет
Почему так
Вершина лежит на прямой, параллельной стороне на расстоянии высоты, и на окружности радиуса второй стороны.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».