Задача 1
Условие (кратко)
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.
Решение
Даны отрезки \(c\), \(b\) и \(m\). Нужно построить \(\triangle ABC\), у которого \(AB = c\), \(AC = b\) и медиана \(BM\) к стороне \(AC\) равна \(m\).
Идея: в треугольнике \(ABM\) известны все три стороны — \(AB = c\), \(BM = m\), \(AM = \dfrac{b}{2}\).
- Строим середину данного отрезка \(b\) — получаем отрезок \(\dfrac{b}{2}\).
- Строим треугольник \(ABM\) по трём сторонам: \(AM = \dfrac{b}{2}\), окружности радиуса \(c\) с центром \(A\) и радиуса \(m\) с центром \(M\) пересекаются в точке \(B\).
- На продолжении луча \(AM\) за точку \(M\) откладываем \(MC = AM\).
- Соединяем \(B\) и \(C\). Треугольник \(ABC\) искомый: \(AB = c\), \(AC = 2AM = b\), \(M\) — середина \(AC\), поэтому \(BM\) — медиана, \(BM = m\).
Исследование: решение есть, только если отрезки \(c\), \(m\) и \(\dfrac{b}{2}\) удовлетворяют неравенству треугольника. Тогда оно единственное, иначе решения нет.
Ответ
Треугольник построен через треугольник ABM по трём сторонам; решение есть и единственно, если c, m и b/2 удовлетворяют неравенству треугольника
Почему так
Медиана отсекает треугольник с тремя известными сторонами — две данные и половина третьей.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».