Задача 1
Условие (кратко)
Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.
Решение
Дано
- прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\) и образуют четыре неразвёрнутых угла
Найти
- ГМТ
- равноудалённых от \(a\) и \(b\)
- Каждая точка биссектрисы любого из четырёх углов равноудалена от его сторон, то есть от прямых \(a\) и \(b\) (теорема п. 39). Сама точка \(O\) удалена от обеих прямых на 0.
- Обратно, пусть точка \(M\) равноудалена от \(a\) и \(b\). Если \(M\) лежит на одной из прямых, то расстояние до неё равно 0, значит, и до другой 0 — это точка \(O\). Иначе \(M\) лежит внутри одного из четырёх углов и по обратной теореме — на его биссектрисе.
- Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой (продолжают друг друга), а биссектрисы смежных углов перпендикулярны: \(\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ\).
Значит, искомое ГМТ — две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через \(O\) и содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми.
Ответ
Две перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых
Почему так
Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе, и наоборот.
Подробнее — в теме «Свойство биссектрисы угла».