Какая фигура — геометрическое место точек, лежащих внутри неразвёрнутого угла и равноудалённых от его сторон?

Биссектриса этого угла

Перпендикуляр к одной из сторон

Прямая, параллельная одной из сторон

Окружность с центром в вершине угла

Какие утверждения верны?

Любая точка биссектрисы угла одинаково удалена от его сторон

Расстояние от точки до стороны угла измеряют по любому отрезку до стороны

Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от его вершин

В доказательстве прямой теоремы сравнивают прямоугольные треугольники AMK и AML. По какому признаку они равны?

По катету и прилежащему острому углу

Свойство биссектрисы угла — 7 класс, геометрия: объяснение и примеры

Коротко о главном

Каждая точка биссектрисы угла одинаково удалена от сторон угла. Обратно: точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка равноудалена от всех сторон.

M \text{ на биссектрисе} \iff MK = ML

Подробное объяснение

Представьте, что две дороги расходятся под углом, и нужно поставить фонарь так, чтобы до обеих дорог было одинаково далеко. Куда его ставить? Оказывается, все подходящие места лежат на одной линии — на биссектрисе угла между дорогами.

Геометрическое место точек

Геометрическое место точек (ГМТ) — множество всех точек с каким-то свойством. Чтобы доказать, что фигура — ГМТ, проверяют две вещи:

каждая точка фигуры обладает свойством;
каждая точка с этим свойством лежит на фигуре.

Одной половины мало: например, на биссектрисе есть точки, равноудалённые от сторон, но вдруг такие точки есть и вне её? Вторая часть это исключает.

Теорема о биссектрисе угла

Прямая теорема. Возьмём точку $$M$$ на биссектрисе угла $$A$$ и опустим перпендикуляры $$MK$$ и $$ML$$ на стороны. Прямоугольные треугольники $$AMK$$ и $$AML$$ равны по гипотенузе и острому углу: гипотенуза $$AM$$ общая, а углы при вершине $$A$$ равны, ведь $$AM$$ — биссектриса. Значит, $$MK = ML$$ .

Обратная теорема. Пусть точка $$M$$ внутри угла и $$MK = ML$$ . Те же треугольники теперь равны по гипотенузе и катету. Тогда равны и углы при вершине $$A$$ , то есть луч $$AM$$ — биссектриса.

Вывод: геометрическое место точек внутри неразвёрнутого угла, равноудалённых от его сторон, — биссектриса угла.

Помните: расстояние от точки до стороны — длина перпендикуляра, а не любого отрезка.

Биссектрисы треугольника

Следствие. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересеклись в точке $$O$$ . Точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$ — значит, она одинаково удалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$ . Лежит на биссектрисе угла $$B$$ — одинаково удалена от $$AB$$ и $$BC$$ . Тогда расстояния до $$AC$$ и $$BC$$ тоже равны, и $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$ .

Точка пересечения биссектрис равноудалена от всех трёх сторон треугольника. Позже она станет центром окружности, вписанной в треугольник.

Как решать задачи

Если точка лежит на биссектрисе — сразу пишите: расстояния до сторон равны.
Если точка внутри угла и расстояния до сторон равны — она на биссектрисе, угол делится пополам.
Для расчёта проведите перпендикуляр к стороне: получится прямоугольный треугольник с острым углом, равным половине данного.
В треугольнике с точкой пересечения биссектрис ищите половины углов: например, $\angle AOB = 180^\circ - \dfrac{\angle A + \angle B}{2}$ .

Разобранные примеры

База

Расстояние до второй стороны

Условие

Точка $$P$$ лежит на биссектрисе угла $$MON$$ и удалена от прямой $$OM$$ на 5 см. На каком расстоянии она от прямой $$ON$$ ?

Дано

$$OP$$ — биссектриса $\angle MON$
расстояние от $$P$$ до $$OM$$ равно 5 см

Найти

расстояние от $$P$$ до $$ON$$

Решение

Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла, поэтому расстояние от $$P$$ до $$ON$$ тоже 5 см.

Ответ: 5 см

Средний

Точка на биссектрисе угла в 60°

Условие

Угол $$AOB$$ равен $60^\circ$ . Точка $$M$$ внутри угла удалена от каждой стороны на 3 см. Найдите $$OM$$ .

Дано

$\angle AOB = 60^\circ$
$MK \perp OA$
$ML \perp OB$
$$MK = ML = 3$$ см

Найти

$$OM$$

Решение

Точка внутри угла равноудалена от сторон, значит, $$OM$$ — биссектриса и $\angle MOK = 30^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$OMK$$ катет $$MK$$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому гипотенуза вдвое больше: $OM = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см

Сложный

Угол между биссектрисами треугольника

Условие

В треугольнике $$ABC$$ углы $$A$$ и $$B$$ равны $50^\circ$ и $70^\circ$ , $$O$$ — точка пересечения биссектрис. Найдите угол $$AOB$$ и угол $$OCA$$ .

Дано

$\angle A = 50^\circ$
$\angle B = 70^\circ$
$$O$$ — точка пересечения биссектрис

Найти

$\angle AOB$
$\angle OCA$

Решение

$\angle OAB = 25^\circ$ , $\angle OBA = 35^\circ$ , поэтому $\angle AOB = 180^\circ - 25^\circ - 35^\circ = 120^\circ$ . Угол $C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$ . Биссектрисы пересекаются в одной точке, значит, $$CO$$ — тоже биссектриса и $\angle OCA = 30^\circ$ .

Ответ: ∠AOB = 120°, ∠OCA = 30°

Типичные ошибки

Измеряют расстояние до стороны наклонным отрезком

Почему неверно

От точки до стороны можно провести сколько угодно отрезков разной длины. Равны между собой только перпендикуляры, а наклонные к разным сторонам могут быть разными.

Как правильно

Расстояние от точки до стороны угла — длина перпендикуляра к прямой, содержащей сторону. Сначала проведите перпендикуляры, потом сравнивайте.

Забывают условие «внутри угла»

Почему неверно

Точка вне угла тоже может быть равноудалена от прямых, содержащих его стороны: такие точки лежат на продолжении биссектрисы за вершину и на биссектрисах смежных углов.

Как правильно

Обратная теорема работает только для точек внутри угла. Для двух пересекающихся прямых ГМТ равноудалённых точек — две прямые, содержащие биссектрисы всех образованных углов.

Путают точку пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров

Почему неверно

Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон, а от вершин — точка пересечения серединных перпендикуляров. Это разные точки (совпадают только в равностороннем треугольнике).

Как правильно

Запомните пару: биссектрисы — стороны, серединные перпендикуляры — вершины.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Точка M лежит на биссектрисе угла AOB. Расстояние от M до прямой OA равно 7 см. Найдите расстояние от M до прямой OB.

Подсказка

Что можно сказать о расстояниях от любой точки биссектрисы до сторон угла?

Решение

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Поэтому расстояние от $$M$$ до прямой $$OB$$ такое же, как до прямой $$OA$$ , — 7 см.

Ответ

7 см

База Задача 2

Угол AOB равен 80°. Точка M лежит внутри угла и одинаково удалена от его сторон. Найдите угол AOM.

Подсказка

Где лежат точки внутри угла, равноудалённые от его сторон?

Решение

По обратной теореме точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе. Значит, луч $$OM$$ — биссектриса, и $\angle AOM = 80^\circ : 2 = 40^\circ$ .

Ответ

40°

Средний Задача 3

Угол AOB равен 60°. На его биссектрисе взята точка M, OM = 12 см. Найдите расстояние от M до сторон угла.

Подсказка

Опустите перпендикуляр MK на сторону OA и рассмотрите прямоугольный треугольник OMK.

Решение

Проведём $MK \perp OA$ . Биссектриса делит угол пополам: $\angle MOK = 30^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$OMK$$ катет $$MK$$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому $MK = \dfrac{OM}{2} = 6$ см. До второй стороны расстояние такое же, так как $$M$$ лежит на биссектрисе.

Ответ

6 см до каждой стороны

Средний Задача 4

Точки M и N лежат внутри угла с вершиной O, и каждая из них одинаково удалена от сторон угла. Докажите, что точки O, M и N лежат на одной прямой.

Подсказка

Какая фигура — геометрическое место таких точек?

Решение

Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе угла. Значит, и $$M$$ , и $$N$$ лежат на биссектрисе — луче с началом в точке $$O$$ . Все точки одного луча лежат на одной прямой, поэтому $$O$$ , $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано: M и N лежат на биссектрисе угла, выходящей из O

Сложный Задача 5

Точка M лежит внутри угла в 60° и удалена от каждой его стороны на 4 см. Найдите расстояние от M до вершины угла.

Подсказка

Сначала докажите, что M лежит на биссектрисе.

Решение

Точка $$M$$ лежит внутри угла и равноудалена от сторон, значит, она лежит на биссектрисе: если $$MK$$ — перпендикуляр к стороне, то $\angle MOK = 30^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$OMK$$ катет $$MK = 4$$ см лежит против угла $30^\circ$ , значит, гипотенуза $OM = 2 \cdot MK = 8$ см.

Ответ

8 см

Сложный Задача 6

В треугольнике ABC угол C прямой, O — точка пересечения биссектрис. Найдите угол AOB.

Подсказка

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а биссектрисы делят их пополам.

Решение

$\angle A + \angle B = 90^\circ$ . Лучи $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы, поэтому $\angle OAB + \angle OBA = \dfrac{\angle A + \angle B}{2} = 45^\circ$ . Из треугольника $$AOB$$ : $\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ .

Ответ

135°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе угол и сложите лист так, чтобы стороны угла совпали, — линия сгиба и есть биссектриса. Отметьте на сгибе точку и угольником опустите из неё перпендикуляры на обе стороны: их длины совпадут. Потом отметьте точку не на сгибе — длины будут разными.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему точка биссектрисы одинаково удалена от сторон угла? 2) Какие две вещи нужно проверить, чтобы назвать фигуру геометрическим местом точек? 3) От чего равноудалена точка пересечения биссектрис треугольника?

На что обратить внимание. Ребёнок должен проводить именно перпендикуляры к сторонам и понимать разницу между прямой и обратной теоремой: в обратной точка обязательно лежит внутри угла.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 39	331, 332, 335