Задача 1
Условие (кратко)
Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых.
Решение
Дано
- \(a \parallel b\)
- расстояние между ними \(d\)
Найти
- ГМТ
- равноудалённых от \(a\) и \(b\)
- Через любую точку \(M\) проведём прямую, перпендикулярную \(a\); она перпендикулярна и \(b\) и пересекает прямые в точках \(K\) и \(L\), \(KL = d\). Расстояния от \(M\) до прямых — это \(MK\) и \(ML\).
- Если \(M\) лежит вне полосы между прямыми (или на одной из них), то \(|MK - ML| = d\), и расстояния не равны. Если \(M\) внутри полосы, то \(MK + ML = d\), и равенство \(MK = ML\) означает \(MK = ML = \dfrac{d}{2}\).
- Точки по одну сторону от прямой \(a\) на расстоянии \(\dfrac{d}{2}\) от неё образуют прямую \(c\), параллельную \(a\) (п. 37). Каждая точка \(c\) удалена на \(\dfrac{d}{2}\) и от \(a\), и от \(b\).
Значит, ГМТ — прямая \(c\), параллельная данным и проходящая посередине между ними.
Ответ
Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них
Почему так
Равноудалённая точка лежит внутри полосы на половине расстояния между прямыми, а такие точки образуют параллельную прямую.
Подробнее — в теме «Свойство биссектрисы угла».