Задача 1
Условие (кратко)
Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(O\) — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах \(B\) и \(C\). Доказать: \(O\) равноудалена от прямых \(AB\), \(BC\), \(CA\).
- Внешний угол при вершине \(B\) образован лучом \(BC\) и продолжением стороны \(AB\) за точку \(B\); его стороны лежат на прямых \(BC\) и \(AB\).
- Точка \(O\) лежит на биссектрисе этого угла, значит, по теореме о биссектрисе угла она равноудалена от его сторон, то есть от прямых \(AB\) и \(BC\): \(OK = OL\), где \(OK \perp AB\), \(OL \perp BC\).
- Аналогично внешний угол при вершине \(C\) образован прямыми \(BC\) и \(CA\), и \(O\) лежит на его биссектрисе: \(OL = OM\), где \(OM \perp CA\).
- Следовательно, \(OK = OL = OM\) — точка \(O\) равноудалена от прямых \(AB\), \(BC\) и \(CA\).
Ответ
Утверждение доказано: расстояния от O до прямых AB, BC и CA равны
Почему так
Точка биссектрисы угла равноудалена от прямых, содержащих его стороны, — применяется дважды, к внешним углам при B и C.
Подробнее — в теме «Свойство биссектрисы угла».