Задача 1
Условие (кратко)
Даны два отрезка AB и CD. Постройте точку M, такую, что MA = MB и MC = MD.
Решение
Точки, для которых \(MA = MB\), лежат на серединном перпендикуляре \(m\) к отрезку \(AB\), а точки, для которых \(MC = MD\), — на серединном перпендикуляре \(n\) к отрезку \(CD\) (следствие 1 п. 40). Искомая точка — их общая точка.
- Строим серединный перпендикуляр \(m\) к отрезку \(AB\): проводим две окружности радиуса \(AB\) с центрами \(A\) и \(B\) и соединяем точки их пересечения.
- Так же строим серединный перпендикуляр \(n\) к отрезку \(CD\).
- Точка пересечения прямых \(m\) и \(n\) — искомая точка \(M\): она лежит на \(m\), поэтому \(MA = MB\), и на \(n\), поэтому \(MC = MD\).
Исследование: если прямые \(AB\) и \(CD\) не параллельны, то \(m\) и \(n\) пересекаются в одной точке — решение единственное. Если \(AB \parallel CD\) (или отрезки лежат на одной прямой), то \(m \parallel n\) — решений нет, а при совпадении \(m\) и \(n\) подходит любая точка этой прямой.
Ответ
M — точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD (если они пересекаются)
Почему так
Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре.
Подробнее — в теме «Серединный перпендикуляр к отрезку».