Задача 1
Условие (кратко)
Даны угол и отрезок AB. Постройте точку M, равноудалённую от сторон угла и такую, что MA = MB.
Решение
Точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, лежат на биссектрисе угла (следствие 1 п. 39), а точки, для которых \(MA = MB\), — на серединном перпендикуляре к \(AB\) (следствие 1 п. 40).
- Строим биссектрису данного угла.
- Строим серединный перпендикуляр \(m\) к отрезку \(AB\).
- Точка пересечения биссектрисы и прямой \(m\) — искомая точка \(M\): она равноудалена от сторон угла и \(MA = MB\).
Исследование: биссектриса — луч, поэтому задача имеет одно решение, если прямая \(m\) пересекает этот луч, и не имеет решений, если не пересекает (например, \(m\) параллельна биссектрисе). Если \(m\) содержит биссектрису, подходит любая её точка.
Ответ
M — точка пересечения биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку AB (если они пересекаются)
Почему так
Искомая точка лежит сразу на двух ГМТ — биссектрисе угла и серединном перпендикуляре к отрезку.
Подробнее — в теме «Серединный перпендикуляр к отрезку».