Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 41

Упражнение 336 к § 41

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что хорда, не проходящая через центр окружности, меньше диаметра.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ радиуса $$r$$ , хорда $$AC$$ не проходит через $$O$$ . Доказать: $$AC < 2r$$ .

Проведём радиусы $$OA$$ и $$OC$$ . Точка $$O$$ не лежит на отрезке $$AC$$ , поэтому $$A$$ , $$O$$ , $$C$$ — вершины треугольника $$AOC$$ .
По неравенству треугольника $$AC < AO + OC = r + r = 2r$$ .
Диаметр окружности равен $$2r$$ , значит, хорда $$AC$$ меньше диаметра.

Ответ

Утверждение доказано — такая хорда короче диаметра.

Почему так

Неравенство треугольника для треугольника, образованного хордой и двумя радиусами.