Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 41

Упражнение 337 к § 41

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если две хорды AB и AC окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности.

Решение

Дано: $$AB$$ и $$AC$$ — различные хорды окружности с центром $$O$$ , $$AB = AC$$ . Доказать: ни $$AB$$ , ни $$AC$$ не диаметр.

Предположим противное: пусть, например, $$AB$$ — диаметр. Тогда $$AC = AB$$ , то есть хорда $$AC$$ равна диаметру.
По задаче 336 хорда, не проходящая через центр, меньше диаметра. Значит, $$AC$$ проходит через центр $$O$$ , то есть $$AC$$ — тоже диаметр.
Но через точку $$A$$ проходит только один диаметр: его второй конец лежит на луче $$AO$$ на расстоянии $$2r$$ от $$A$$ . Поэтому $$C = B$$ , и хорды совпадают — противоречие с условием.
Точно так же $$AC$$ не может быть диаметром.

Ответ

Утверждение доказано — ни одна из равных хорд AB и AC не диаметр.

Почему так

Доказательство от противного с опорой на задачу 336 — хорда, равная диаметру, сама является диаметром.