Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если точка C — внутренняя точка относительно окружности, не лежащая на её диаметре AB, то угол ACB тупой.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(r\), \(AB\) — диаметр, \(OC < r\), \(C\) не лежит на прямой \(AB\). Доказать: \(\angle ACB > 90^\circ\).
- Отрезок \(CO\) — медиана треугольника \(ACB\), причём \(OA = OB = r\) и \(OC < r\).
- В треугольнике \(AOC\) сторона \(OA\) больше стороны \(OC\), а против большей стороны лежит больший угол: \(\angle ACO > \angle CAO\).
- Так же в треугольнике \(BOC\): \(\angle BCO > \angle CBO\).
- Точка \(O\) лежит на стороне \(AB\), поэтому \(\angle ACB = \angle ACO + \angle BCO > \angle A + \angle B\).
- Так как \(\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle ACB\), получаем \(\angle ACB > 180^\circ - \angle ACB\), то есть \(\angle ACB > 90^\circ\).
Другой путь (как в указании учебника): продолжим \(AC\) за точку \(C\) до пересечения с окружностью в точке \(D\). По свойству 2 п. 41 \(\angle ADB = 90^\circ\), а \(\angle ACB\) — внешний угол треугольника \(CDB\), поэтому он больше \(90^\circ\).
Ответ
Утверждение доказано — ∠ACB тупой.
Почему так
Медиана CO короче половины AB, поэтому углы при C больше углов A и B в сумме — угол C больше 90°.
Подробнее — в теме «Диаметры и хорды окружности».