Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 41

Упражнение 339 к § 41

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если AB — диаметр окружности и C — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой AB, то угол ACB острый.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ радиуса $$r$$ , $$AB$$ — диаметр, $$OC > r$$ , $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$ . Доказать: $\angle ACB < 90^\circ$ .

$$CO$$ — медиана треугольника $$ACB$$ , $$OA = OB = r < OC$$ .
В треугольнике $$AOC$$ сторона $$OC$$ больше стороны $$OA$$ , поэтому против неё лежит больший угол: $\angle CAO > \angle ACO$ .
Так же в треугольнике $$BOC$$ : $\angle CBO > \angle BCO$ .
Точка $$O$$ лежит на стороне $$AB$$ , поэтому $\angle ACB = \angle ACO + \angle BCO < \angle A + \angle B = 180^\circ - \angle ACB$ .
Отсюда $2\angle ACB < 180^\circ$ , то есть $\angle ACB < 90^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано — ∠ACB острый.

Почему так

Медиана CO длиннее половины AB, поэтому угол C меньше суммы углов A и B — значит, меньше 90°.