Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 41

Упражнение 340 к § 41

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Решение

Дано: $AB \parallel CD$ — хорды окружности с центром $$O$$ , $$M$$ и $$N$$ — их середины. Доказать: $$M$$ и $$N$$ лежат на одном диаметре.

Проведём диаметр $$EF$$ , перпендикулярный хорде $$AB$$ . По свойству 1 п. 41 диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому $$EF$$ проходит через середину $$M$$ .
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Значит, $EF \perp CD$ .
По тому же свойству $$EF$$ делит хорду $$CD$$ пополам, то есть проходит через $$N$$ .
Итак, $$M$$ и $$N$$ лежат на диаметре $$EF$$ . (Если одна из хорд — диаметр, её середина — центр $$O$$ , он тоже лежит на $$EF$$ .)

Ответ

Утверждение доказано — середины лежат на диаметре, перпендикулярном хордам.

Почему так

Диаметр, перпендикулярный одной хорде, перпендикулярен и параллельной ей хорде и делит обе пополам.