Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 41

Упражнение 341 к § 41

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ радиуса $$r$$ , хорды $$AB = CD$$ , $OH \perp AB$ , $OK \perp CD$ . Доказать: $$OH = OK$$ .

Треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равнобедренные ( $$OA = OB = OC = OD = r$$ ). Высота $$OH$$ равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому $AH = \dfrac{AB}{2}$ . Так же $CK = \dfrac{CD}{2}$ , значит, $$AH = CK$$ .
Прямоугольные треугольники $$OAH$$ и $$OCK$$ равны по гипотенузе ( $$OA = OC$$ ) и катету ( $$AH = CK$$ ).
Отсюда $$OH = OK$$ — расстояния от центра до хорд равны.
Если хорды — диаметры, обе проходят через центр и оба расстояния равны нулю.

Ответ

Утверждение доказано — расстояния от центра до равных хорд равны.

Почему так

Прямоугольные треугольники из радиуса, половины хорды и перпендикуляра равны по гипотенузе и катету.