Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 41

Упражнение 342 к § 41

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ радиуса $$r$$ , хорды $$AB$$ и $$CD$$ , $OH \perp AB$ , $OK \perp CD$ , $$OH = OK$$ . Доказать: $$AB = CD$$ .

Прямоугольные треугольники $$OAH$$ и $$OCK$$ равны по гипотенузе ( $$OA = OC = r$$ ) и катету ( $$OH = OK$$ ), поэтому $$AH = CK$$ .
В равнобедренном треугольнике $$AOB$$ высота $$OH$$ — также медиана, значит, $$AB = 2AH$$ . Так же $$CD = 2CK$$ .
Следовательно, $$AB = CD$$ .
Если расстояния равны нулю, обе хорды проходят через центр — это диаметры, и они равны.

Ответ

Утверждение доказано — хорды равны.

Почему так

Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету даёт равные половины хорд.