Задача 1
Условие (кратко)
Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и проведённой к ней высоте.
Решение
Даны отрезки \(c\) (гипотенуза) и \(h\) (высота).
Построение:
- Проведём прямую и отложим на ней отрезок \(AB = c\).
- Построим середину \(O\) отрезка \(AB\) (серединный перпендикуляр) и окружность с центром \(O\) радиуса \(OA\) — на ней \(AB\) является диаметром.
- Построим прямую \(a\), параллельную \(AB\) и удалённую от неё на расстояние \(h\) (задача 291): например, восставим к \(AB\) перпендикуляр, отложим на нём отрезок \(h\) и через его конец проведём перпендикуляр к первому.
- Отметим точку \(C\) пересечения прямой \(a\) с окружностью. Треугольник \(ABC\) — искомый.
Почему так: по свойству 2 п. 41 из точки \(C\) окружности диаметр \(AB\) виден под прямым углом, \(\angle ACB = 90^\circ\); расстояние от \(C\) до \(AB\) равно \(h\) — это и есть высота.
Задача имеет решение, только если \(h \le \dfrac{c}{2}\) (высота не больше радиуса); при \(h = \dfrac{c}{2}\) треугольник равнобедренный.
Ответ
Построен прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой c и высотой h (решение есть при h ≤ c/2).
Почему так
Вершина прямого угла лежит на окружности с диаметром-гипотенузой и на прямой, удалённой от гипотенузы на h.
Подробнее — в теме «Диаметры и хорды окружности».