Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 41

Упражнение 361 к § 41

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведённым к гипотенузе.

Решение

Даны отрезки $$m$$ (медиана к гипотенузе) и $$h$$ (высота к гипотенузе).

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы (свойство 4 п. 35). Значит, гипотенуза $$c = 2m$$ .
Построим отрезок $$AB = 2m$$ : отложим на прямой отрезок $$m$$ дважды подряд.
Дальше — как в задаче 360: окружность с диаметром $$AB$$ (центр — середина $$O$$ , радиус $$m$$ ), прямая, параллельная $$AB$$ на расстоянии $$h$$ , точка $$C$$ их пересечения.
Треугольник $$ABC$$ — искомый: $\angle C = 90^\circ$ , высота $$h$$ , медиана $$CO = m$$ как радиус.

Решение есть при $h \le m$ .

Ответ

Построен прямоугольный треугольник с гипотенузой 2m, медианой m и высотой h (при h ≤ m).

Почему так

Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому задача сводится к построению по гипотенузе и высоте.