Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 42

Упражнение 343 к § 42

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ радиуса $$r$$ , прямая $$p$$ , $OH \perp p$ , $$OH = r$$ . Доказать: $$p$$ — касательная.

Так как $$OH = r$$ , точка $$H$$ лежит на окружности — это общая точка прямой и окружности.
Возьмём на прямой $$p$$ любую другую точку $$M$$ . Отрезок $$OM$$ — наклонная, а $$OH$$ — перпендикуляр к $$p$$ , поэтому $$OM > OH = r$$ .
Значит, $$M$$ — внешняя точка, на окружности она не лежит.
Прямая и окружность имеют ровно одну общую точку $$H$$ , то есть $$p$$ — касательная.

Ответ

Утверждение доказано — прямая имеет с окружностью одну общую точку и является касательной.

Почему так

Перпендикуляр короче любой наклонной, поэтому все точки прямой, кроме основания перпендикуляра, лежат вне окружности.