Задача 1
Условие (кратко)
Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Касательная, проведённая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
Решение
Дано: \(AB\) — диаметр окружности с центром \(O\), \(\angle CAB = 30^\circ\), \(CD\) — касательная, \(D\) на прямой \(AB\). Доказать: \(\triangle ACD\) равнобедренный.
- \(OA = OC\), поэтому \(\angle OCA = \angle OAC = 30^\circ\) и \(\angle AOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
- Угол \(COB\) смежный с углом \(AOC\): \(\angle COB = 60^\circ\). Он острый, поэтому касательная в точке \(C\) пересекает луч \(OB\); \(D\) лежит на продолжении \(AB\) за точку \(B\).
- \(\angle OCD = 90^\circ\) (касательная перпендикулярна радиусу). В треугольнике \(OCD\): \(\angle ODC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
- В треугольнике \(ACD\): \(\angle CAD = 30^\circ = \angle CDA\). Углы при стороне \(AD\) равны, значит, \(CA = CD\) — треугольник равнобедренный.
Ответ
Утверждение доказано — ∠CAD = ∠CDA = 30°, поэтому CA = CD.
Почему так
Сначала по равнобедренному треугольнику AOC и прямому углу при C находим, что ∠ADC = 30°, как и ∠CAD.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».